E comum pensarmos que a matematica e infalivel. Acha-se -- ou pelo menos eu achei por muito tempo -- que a prova matematica e algo irrefutevel. Isso parece verdade ate que comecamos a fazer e ver muitas provas matematicas, ai entao a coisa mostra-se muito mais uma questao de intuicao, de palpite, que propriamente uma questao exata, sem erros.
A primeira vista a logica parece resolver todos nossos problemas, se algo e logicamente valido, essa coisa deve estar certa. Durante muito tempo eu nao entendia muito bem o significado de implicacao logica, algo tao fundamental para a prova de qualquer teorema. A construcao `se A entao B' sempre sera verdadeira dado que A e B sejam verdadeiros, ou ainda, sera sempre verdadeira se A for falso. O que me incomodava e que nao ha nenhuma ligacao formal entre A e B. Eu nao conseguia acreditar nisso, mas nao existe. A ligacao entre A e B nessa construcao somos nos que fazemos.
Se x = 2 e y = 2*x entao y = 4. Isso esta perfeito do ponto de vista
logico e matematico. E se alguem perguntar porque, um matematico
responderia:
Eu poderia ter utilizado ai os axiomas do corpo real, poderia ter enchido esta pagina de justificativas. Mas isso nao importa e o que esta escrito ai e suficiente para qualquer pessoa com um pouco de contato com matematica entender. Nos dividimos o passo `se x = 2 e y = 2*x entao y = 4' em diversos passos logicos, entretanto, nao mudamos a natureza dessa construcao. Nos agora temos muita confianca que essa afirmacao e verdadeira porque nos nos convencemos de cada pedacinho -- entre parenteses estao as ideias que nos convence. Entretanto, nao ha nenhuma formalidade para passar de um passo para outro, nao temos como provar que a prova esta certa. Precisariamos de uma meta-matematica para isso, e tambem nao resolveriamos o problema, pois precisariamos de uma meta-meta-matematica para mostrar que estavamos certos.
A conclusao que eu chego e que a logica serve para organizar nossas ideias, e so. Utilizando as construcoes logicas nos conseguimos ligar nossos pensamentos de forma muito mais convincente (para nos mesmos e para outros) e e por isso que nos gostamos da logica. As nossas ideias em si nao sao formais, nao sao irrefutaveis. Nos usamos a logica como ferramenta para entender melhor nos mesmos, os outros e as coisas. Nao para chegar em um resultado inquestionavel.
Se as provas matematicas fossem inquestionaveis, nos nao precisariamos entrega-la para revisao para um comite, ela ja seria inquestionavel por si so. Eles vao apenas chegar a conclusao deles se voce fez sentido ou nao. A aceitacao ou recusa da sua prova por outras pessoas nao quer dizer que ela esta necessariamente certa. Quer dizer apenas que ela fez sentido para muita gente. Que voce nao cometeu nenhum erro facil de se encontrar.
O uso da logica nao esta restrito a matematica, e claro. Usa-se a logica na fisica, na sociologia, psicologia, direito e tudo mais que envolva algum tipo de raciocinio humano. Apenas na matematica, entretanto, confunde-se argumentacao logica com prova irrefutavel. E eu tenho uma explicacao convincente para isso: de todas nossas atividades a matematica e a unica que somos donos absolutos das regras. Nos estamos totalmente sobre controle da matematica, ela e o que nos quisermos que seja. E dificil de errar assim porque a gente pode sempre mudar as regras, se for necessario. Ao contrario de outras areas do conhecimento onde a natureza ou a relacao social -- que nao deixa de ser parte da natureza -- dita as regras. Nao tem como nos mudarmos as regras do mundo real, por isso um argumento logico na fisica nao parece tao forte quanto na matematica.